May 22nd, 2007

sinkhamukha

Три книги о фракталах

Красота фракталов Лет десять назад в книжном магазине «Техническая книга», что на Пушкинской, я увидел книгу с чем-то потрясающим на обложке — «Красота фракталов» Пайтгена и Рихтера. В книге были фантастические, безумные по красоте иллюстрации. С тех пор я неравнодушен к этим странным штукам.

Не буду вдаваться в теорию, об этом лучше почитать на специализированных сайтах, скажу лишь, что фракталы незримо присутствуют практически во всем, что нас окружает — формах ландшафта, сплетении кровеносных сосудов, деревьях, галактиках… Фрактал — это упорядоченный хаос. Хаос, подчиняющийся определенным правилам.

Все знают, что такое периметр — сумма длин сторон какой-либо геометрической фигуры. Есть формы, периметр которых измерить несложно, например, периметр комнаты. Для этого всего лишь нужна рулетка… Но на деле оказывается не все так просто. Рулетка даст нам определенную долю погрешности, как бы смазывая небольшие выпуклости и впуклости :) Если мы захотим включить в измерение мельчайшие неровности стены и используем для этого микроскоп, периметр значительно увеличится — стена уже не такая ровная, какой она была для рулетки. Углубляясь еще глубже, на нано-уровень или молекулярный, мы будем получать результат, значительно отличающийся от исходного — длина будет постоянно расти.

Множество Мандельброта Фрагмент множества Мандельброта Вы наверняка видели классический пример фрактала — множество Мандельброта (черно-белый рисунок слева). Поправьте меня, но, кажется, длина периметра этой фигуры вообще стремится к бесконечности (при том что площадь ее ограничена и конечна). Каждый раз, увеличивая масштаб, мы будем видеть на ее контуре все новые и новые формы (цветной рисунок справа). Причем в них будет повторяться образ исходной фигуры и так до бесконечности. У меня от этого дух захватывает :)

Фракталы, случай и финансы (Не)послушные рынки. Фрактальная революция в финансах Фракталы — не просто красивые картинки, а обширная область в математике, имеющая и практическое применение. Я не очень понял это из первой книги, но, к счастью, нашел еще две: «Фракталы, случай и финансы» и «(Не)послушные рынки. Фрактальная революция в финансах». Их написал сам Бенуа Мандельброт — основатель фрактальной геометрии, который открыл ее, изучая финансовые рынки.

Первая книга — более краткая, но с математическими выкладками. Вторая — специально для таких как я :) Там все подробно расписано «на пальцах» кто, что, когда, откуда и зачем.

Вкратце, суть в следующем — все общепринятые математические теории, применяемые для моделирования финансовых рынков — фигня полная. Доказательства? Вспомните 1998 год. Стандартные формулы прогноза цен не предвидели (и не могли предвидеть) его, поскольку считают очень сильные отклонения от нормального распределения столь маловероятными, что не позволяют с ними серьезно работать. Напротив, теория, которую придумал (вернее будет сказать, обобщил, формализовал, дополнил и применил) Мандельброт, может работать с такими скачками цен. Все отличие в том, что рынок (как и все живое) живет по фрактальным законам, так что, работая с ним, надо их учитывать.

Кроме финансов Мандельброт нашел фракталы еще во многих странных местах, например в лингвистике.

Читать книги Мандельброта не очень легко. Очень длинные и витиеватые предложения, много деталей, от которых голова пухнет :) «(Не)послушные рынки» я читал в течение месяца, 10 прочтенных страниц срубали в сон с вероятностью более 90% :) Но, уверен, оно того стоило.

Чем мне импонирует Бенуа Мандельброт — так это способностью видеть необычное в совершенно обыденных вещах. Его взгляд не «замылен». И еще, он не боится идти против течения. Свои фрактальные теории он продвигал (и продвигает), встречая большое сопротивление мэйнстрима. Его подход сложен для тех, кто привык к стандартным решениям, однако, его решения ближе к природе. Это примерно так же, как турбулентность, которую сложно математически описать. Было бы просто всегда иметь ламинарное течение, которое легко формализуется, но в жизни чаще приходится сталкиваться с турбулентностью — хаосом, который, тем не менее, подчиняется определенным законам. Как фракталы.

Х.-О. Пайтген, П.Х. Рихтер, «Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем», 1993, Мир, ISBN 5-03-001296-6
H.-O. Peitgen, P.H. Richter. “Beauty of Fractals: Images of Complex Dynamical Systems”, 1986, Springer-Verlag, ISBN 0387158510

Б. Мандельброт, «Фракталы, случай и финансы (1959-1997)», 2004, R&C Dynamics, ISBN 5-93972-341-1

Б. Мандельброт и Ричард Л. Хадсон, «(Не)послушные рынки. Фрактальная революция в финансах», 2006, Вильямс, ISBN 5-8459-0922-8
Benoit B. Mandelbrot and Richard L. Hudson, “The (mis)Behavior of Markets. A Fractal View of Risk, Ruin, and Reward”, Basic Books, ISBN 0465043550

P.S. Кстати, если кто хочет красивые фрактальные картинки порисовать (вот как те черно-белая и цветная), у меня есть программка десятилетней давности для этого :) Работает под Windows.

Collapse )